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从1,2,…,2010这2010个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?
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问题描述:

从1,2,…,2010这2010个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?

孙成祥回答:
  首先,如下61个数:11,11+33,11+2×33,11+60×33(即1991)满足题设条件,   另一方面,设a1<a2<an是从1,2,2010中取出的满足题设条件的数,   对于这n个数中的任意4个数ai,aj,ak,am,因为33|(ai+ak+am),33|(aj+ak+am),   所以33|(aj-ai),   ∴所取的数中任意两数之差都是33的倍数,   设ai=a1+33di,i=1,2,3,n,   由33|(a1+a2+a3),得33|(3a1+33d2+33d3),   所以33|3a1,11|a1,即a1≥11,d
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