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19日数学13.若(x+2/x^2)^n的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比为10(1)求展开式的所有奇数项的二项式系数之和(2)求展开式中系数最大的项
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问题描述:

19日数学13.若(x+2/x^2)^n的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比为10

(1)求展开式的所有奇数项的二项式系数之和

(2)求展开式中系数最大的项

丘杰回答:
  (1)   T5=C(n,4)x^(n-4)*(2/x²)⁴   =16C(n,4)x^(n-12)   系数16C(n,4)   T3=C(n,2)x^(n-2)(2/x²)²   =4C(n,2)x^(n-6)   系数为4C(n,2)   依题意:16C(n,4)/[4C(n,2)]=10   ∴2n(n-1)(n-2)(n-3)/24=5*n(n-1)/2   ∴(n-2)(n-3)=30=5*6   ∴n-2=6,n-3=5   n=8   展开式的所有奇数项的二项式系数之和   为2^7=128   (2)   通项Tr+1=C(8,r)x^(8-r)(2/x²)^r   =2^rC(8,r)x^(8-3r)   第r+1项系数为A=2^rC(8,r)   第r+2项系数为B=2^(r+1)C(8,r+1)   由B/A=2C(8,r+1)/C(8,r)   ={2*8!/[(r+1)!(7-r)!]}/{8!/[(8-r)!r!]   =2(8-r)/(r+1)≥1   得16-2r≥r+1   r≤5   即r=0,1,2,3,4,5时,系数不减   r=5时,取等号,说明第6项系数等于第7项系数,且为最大   展开式中系数最大项为2^5C(8,5)=2^6C(8,6)=1792
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