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高二数学在直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABO-A1B1O1中OO1=4OA=4OB=3角AOB=90°点D是线段A1B1的中点点P是侧棱BB1上的一点且OP垂直于BD求OP与底面AOB所成角的正切值
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问题描述:

高二数学

在直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABO-A1B1O1中OO1=4OA=4OB=3角AOB=90°点D是线段A1B1的中点点P是侧棱BB1上的一点且OP垂直于BD求OP与底面AOB所成角的正切值

蔡嘉勇回答:
  因为是直三棱柱,所以角POB就是OP与底面AOB所成角.   过P作BD的平行线交A1B1与E,过E作B1B的平行线交AB与F.   因为OP⊥BD,PE//BD,所以EPO是直角三角形,且角EPO是直角.   设B1E=x,则B1P=8/5x,PE^2=BE^2+BP^2;   PB=4-B1P;OP^2=BP^2+OB^2;   BF=B1E=x,EF=4;EO^2=EF^2+OF^2;   OF^2=OB^2+BF^2-2*OB*FB*cos(角OBF),而三角形AOB是直角三角形,   cos(角OBF)=3/5;   由EPO是直角三角形,且角EPO是直角.   PE^2+PO^2=EO^2   PE^2=(8/5x)^2+x^2   PO^2=(4-8/5x)^2+3^2;   EO^2=3^2+x^2-2*x*3*3/5+4^2   联立解得x=115/64   PB1=8/5x=23/8,PB=4-PB1=9/8;   OP与底面AOB所成角即角POB,tan(角POB)=PB/OB=3/8
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