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(文科学生做)若函数f(x)对任意x1,x2∈D,都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|成立,则称f(x)为D上的“收缩”函数(1)判断函数f(x)=14x2+12x在[-1,1]上是否是“收缩”函数,并说明理由;(2
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问题描述:

(文科学生做)若函数f(x)对任意x1,x2∈D,都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|成立,则称f(x)为D上的“收缩”函数

(1)判断函数f(x)=14x2+12x在[-1,1]上是否是“收缩”函数,并说明理由;

(2)函数f(x)=kx+2(k∈R),

(i)讨论函数f(x)=kx+2(k∈R)在x∈[-1,+∞)的单调性,并用定义证明;

(ii)是否存在k∈R,使得f(x)=kx+2在[-1,+∞)上为“收缩”函数,若存在,求k的范围;若不存在,说明理由.

马明磊回答:
  (1)任取x1,x2∈[-1,1],可得|f(x1)-f(x2)|=|(14x12+12x1)-(14x22+12x2)|=|14(x1+x2)(x1-x2)+12(x1-x2)|=|x1-x2||14(x1+x2)+12|∵x1,x2∈[-1,1],∴14(x1+x2)∈[−12,12],∴14(x1+x2)+12...
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《(文科学生做)若函数f(x)对任意x1,x2∈D,都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|成立,则称f(x)为D上的“收缩”函数(1)判断函数f(x)=14x2+12x在[-1,1]上是否是“收缩”函数,并说明理由;(2|小学科学问答-字典翻译问答网》
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