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【在课外小组活动时,小慧拿来一道题(原问题)和小东、小明交流.原问题:如图1,已知△ABC,∠ACB=90°,∠ABC=45°,分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA=DB,EB=EC,∠ADB=∠BEC=90°,连接】
1人问答
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问题描述:

在课外小组活动时,小慧拿来一道题(原问题)和小东、小明交流.

原问题:如图1,已知△ABC,∠ACB=90°,∠ABC=45°,分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA=DB,EB=EC,∠ADB=∠BEC=90°,连接DE交AB于点F.探究线段DF与EF的数量关系.

小慧同学的思路是:过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形,通过推理使问题得解.

小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60度.

小明同学经过合情推理,提出一个猜想,我们可以把问题推广到一般情况.

请你参考小慧同学的思路,探究并解决这三位同学提出的问题:

(1)写出原问题中DF与EF的数量关系;

(2)如图2,若∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°,原问题中的其他条件不变,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明;

(3)如图3,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,原问题中的其他条件不变,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明.

胡玲玲回答:
  (1)DF=EF.   (2)猜想:DF=FE.   证明:过点D作DG⊥AB于G,则∠DGB=90度.   ∵DA=DB,∠ADB=60度.   ∴AG=BG,△DBA是等边三角形.   ∴DB=BA.   ∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,   ∴AC=12
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