【如图,正方形ABCD的边长为4,点E在AB上,连接DE,过点A作AF垂直DE点G1,当AE=1时,求GF是多少2,连接DE,EF,四边形ADFE的面积为S,证明：S=1/2AF²】
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问题描述：
如图,正方形ABCD的边长为4,点E在AB上,连接DE,过点A作AF垂直DE点G
1,当AE=1时,求GF是多少
2,连接DE,EF,四边形ADFE的面积为S,证明：S=1/2AF²
耿烽回答：
1、∵ABCD是正方形
∴AD=AB=4
∠DAB=∠ABC=90°
在Rt△ADE中
DE=√(AD²+AE²)=√1(4²+1²)=√17
∵AG⊥DE(AF⊥DE)
∴根据射影定理（或Rt△ADE∽Rt△ADG∽Rt△AGE)
得：AE²=EG×DEEG=AE²/DE=1/√17=√17/17
得：DG=DE-EG=√17-√17/17=16√17/17
得：AG²=DG×EG=(16√17/17)×(√17/17)AG=4√17/17
∵∠FAB=∠GAE
∴Rt△AEG∽Rt△ABF
∴AG/AB=AE/AF
AF=AB×AE/AG=4×1/(4√17/17)=√17
∴GF=AF-AG=√17-4√17/17=13√17/17
2、∵Rt△ADG∽Rt△AGE
∴∠ADE=∠GAE=∠FAB
又∵AD=AB
∴Rt△ADE≌Rt△AFB
∴DE=AF
∴S四边形ADFE
=S△ADF+S△AEF
=1/2AF×DG+1/2AF×EG
=1/2AF×(DG+EG)
=1/2AF×DE
=1/2AF²
即S=1/2AF²
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