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问题描述:

f:A={1,2,3}映射B={1,2,3}满足f[(x)]=f(x),这样的函数个数有多少

f:{1,2,3}映射{1,2,3}满足f(f(x))=f(x),这样的函数个数有多少?

我看了答案了,我有个疑问:

我自己做这题的话,我认为就只有一个函数符合,就是1→1,2→2,3→3.因为满足f(f(x))=f(x),根据f[f(x)]=f(x)可以推出:f(x)=x,那么A中所有元素都必须满足f(x)=x,比如:当x=1时,f(1)=1,说明在集合A中的元素1映射到B,所对应的应该是1,以此类推,那么符合的就只有1→1,2→2,3→3.

可是答案上不是这么讲的,答案是说至少有一个f(x)=x,然后分类讨论.

如果按答案说的做,比如:A中元素1对应B中的1,A中的2对应B中的3,A中的3对应B中的2,这样,就有:f(1)=1,f(2)=3,f(3)=2,但是f(2)=3,f(3)=2不符合f(x)=x,那这样的函数应该不成立.这到底是怎么回事?

李德基回答:
  映射可分为一一映射(值域为B)和其它映射(值域是B的子集)   f(x)=x是一一映射的情况   如果考虑其它映射,f[f(x)]=f(x)与f(x)=x并不等价   前者表示值域中的数符合f(x)=x,后者表示定义域中的数符合f(x)=x   如(1,2,3)→(1,1,1),表示1→1,2→1,3→1   (1,2,3)→(1,2,1)   (1,2,3)→(1,2,2)等等   只要满足值域中的数符合f(x)=x就行了   总共有10种情况
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