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【在二项式(1+i)^(4n+2)的展开项中各偶数项之和为多少?】
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问题描述:

在二项式(1+i)^(4n+2)的展开项中各偶数项之和为多少?

陈立南回答:
  (1+i)^(4n+2)二项式展开中的偶数项即多项式f(x)=(1+ix)^(4n+2)的偶次项系数.   f(x)的全体系数之和为:   f(1)=(1+i)^(4n+2)=((1+i)^2)^(2n+1)=(2i)^(2n+1)=2i·((2i)^2)^n=2i·(-4)^n.   f(x)的偶次项系数之和减去奇次项系数之和为:   f(-1)=(1-i)^(4n+2)=((1-i)^2)^(2n+1)=(-2i)^(2n+1)=-2i·((-2i)^2)^n=-2i·(-4)^n.   于是f(x)的偶次项系数之和为(f(1)+f(-1))/2=0.   也可以从复数乘方的角度看.   (1+i)^(4n+2)的偶数项系数和就是(1+i)^(4n+2)的实部.   设z=1+i,其复共轭z'=1-i=-iz.   因此z^(4n+2)的复共轭=(z')^(4n+2)=(-iz)^(4n+2)=(-i)^(4n+2)·z^(4n+2)=-z^(4n+2).   由此可知(1+i)^(4n+2)=z^(4n+2)的实部为0.
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