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已知RT三角形BAC中,角BAC=90度,AB=AC,直线L经过点A,BE垂直L于E,CF垂直L于F,问EF与BE,CF之间的数量关系(1)EF=BE+CF(L与BC不相交时)(2)EF=IBE-CFI(L与BC相交时)I是绝对值的意思,
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问题描述:

已知RT三角形BAC中,角BAC=90度,AB=AC,直线L经过点A,BE垂直L于E,CF垂直L于F,问EF与BE,CF之间的数量关系

(1)EF=BE+CF(L与BC不相交时)(2)EF=IBE-CFI(L与BC相交时)I是绝对值的意思,

白帆回答:
  证明:   (1)直线L与BC不相交即L//BC时   显然L与AB和AC的夹角都为45°   BE=CF=EA=FA=EF/2   所以:EF=BE+CF   (2)仅讨论L与BC的交点在BC之间,设L与BC相交于点O   RT△AEB和RT△CFA中:   AB=CA   ∠BAE+∠FAC=90°=∠FAC+∠ACF   所以:∠BAE=∠ACF   所以:RT△AEB≌RT△CFA   FA=EB   AE=CF   FA-AE=BE-CF   EF=BE-CF   因为交点可能在线段BC的外边,所以:EF=|BE-CF|
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