高中立体几何矩形ABCD中,AD垂直面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF垂直面ACED,连接AC,BD交于点G(1)求证AE⊥面BCE(2)求证AE//面BFD(3)求三棱锥C-BGF的体积
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问题描述：
高中立体几何
矩形ABCD中,AD垂直面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF垂直面ACED,连接AC,BD交于点G(1)求证AE⊥面BCE(2)求证AE//面BFD(3)求三棱锥C-BGF的体积
桂本烜回答：
(1)
证明:
因为：BF⊥面ACE
所以：BF⊥AE
因为：AD⊥面ABE
所以：AD⊥AE
又因为：四边形ABCD为矩形
所以：AD‖BC
则：AE⊥BC
又：AE⊥BF,BF交BC=B
则：AE⊥面BCE
(2)证明：连接FG
因为：四边形ABCD为矩形
所以：G为AC中点
在三角形ACE中：
因为G为AC中点,F为EC中点
则：FG‖EA,且FG=(1/2)AE
又：FG含于面BFD,AE不含于面BFD
则：AE//面BFD
(3)因为：AE⊥面BCE,BE含于面BCE
所以：AE⊥BE
在Rt三角形ABE中,
因为：∠AEB=90度
所以：AB^2=AE^2+BE^2
所以：AB=DC=2√2
则：BD=AC=√[AB^2+BC^2]=2√3
则：GC=GB=(1/2)BD=√3
因为：AD⊥面ABE,AD‖BC
所以:BC⊥面ABE
又：BE含于面ABE
则：BC⊥BE
则：EC=2√2,FC=(1/2)EC=√2
BF=√[BC^2-FC^2]=√2
在三角形GBF中,
因为：FG=1,BF=√2,BG=√3
则：BG^2=BF^2+FG^2
则：GF⊥BF
同理可得：BF⊥FC,FC⊥GF
因为：GF⊥BF,GF⊥FC,FC∩BF=F
FC,BF含于面FBC
所以：GF⊥面FBC
所以：
VC-BGF=VG-FBC
=(1/3)Sh
=(1/3)[(1/2)*(√2)^2]*1
=1/3
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