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如图,AB为⊙O的直径,且弦CD⊥AB于E,过点B的切线与AD的延长线交于点F.(1)若M是AD的中点,连接ME并延长ME交BC于N.求证:MN⊥BC.(2)若cos∠C=45,DF=3,求⊙O的半径.
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问题描述:

如图,AB为⊙O的直径,且弦CD⊥AB于E,过点B的切线与AD的延长线交于点F.

(1)若M是AD的中点,连接ME并延长ME交BC于N.求证:MN⊥BC.

(2)若cos∠C=45,DF=3,求⊙O的半径.

胡铂回答:
  (1)证明:   (方法一)连接AC.   ∵AB是⊙O的直径,且AB⊥CD于E,   由垂径定理得,点E是CD的中点;   又∵M是AD的中点,   ∴ME是△DAC的中位线,   ∴MN∥AC.   ∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.   ∴∠MNB=90°,即MN⊥BC;   (方法二)∵AB⊥CD,∴∠AED=∠BEC=90°.   M是AD的中点,   ∴ME=AM,即有∠MEA=∠A.   ∵∠MEA=∠BEN,∠C=∠A,   ∴∠C=∠BEN.   又∵∠C+∠CBE=90°,   ∴∠CBE+∠BEN=90°,   ∴∠BNE=90°,即MN⊥BC;   (方法三)∵AB⊥CD,∴∠AED=90°.   由于M是AD的中点,   ∴ME=MD,即有∠MED=∠EDM.   又∵∠CBE与∠EDA同对AC
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《如图,AB为⊙O的直径,且弦CD⊥AB于E,过点B的切线与AD的延长线交于点F.(1)若M是AD的中点,连接ME并延长ME交BC于N.求证:MN⊥BC.(2)若cos∠C=45,DF=3,求⊙O的半径.|小学数学问答-字典翻译问答网》
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