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1.若F(x)在(a,b)之间连续,在K区间可导,且a>0,至少在(a,b)区间内有一点ξ,使得2ξ(F(a)-F(b))=(b²-a²)F(ξ)2.f(x)在(a,b)具有二阶导数,且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中0<a<x1<x2<x3<b.证明在(X1,X3)区间内
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问题描述:

1.若F(x)在(a,b)之间连续,在K区间可导,且a>0,至少在(a,b)区间内有一点ξ,使得2ξ(F(a)-F(b))=(b²-a²)F(ξ)

2.f(x)在(a,b)具有二阶导数,且f(x1)=f(x2)=f(x3),其中0<a<x1<x2<x3<b.证明在(X1,X3)区间内至少有一点ξ,使得F(ξ)二阶导数=0

3.若f(x)在闭区间0,1具有二阶导数,f(1)=f(0),领F(x)=x²f(x),则在(0,1)至少有一点ξ,使得F(ξ)二阶导数=0

4.求F(x)=e的2X次方,求在X=0处的N阶方程,运用泰勒公式!

戴静安回答:
  1. 这个看起来用柯西中值定理,但又不是,感觉不对,要是2ξ(F(b)-F(a))=(b²-a²)F'(ξ) =>   (F(b)-F(a))/(b²-a²)=F'(ξ)/(2ξ) 这样,就可以用柯西中值定理   2. 用两次洛尔定理,分别由于f(x1)=f(x2),∃ξ1∈(x1,x2),f‘(ξ1)=0,由于f(x2)=f(x3),∃ξ2∈(x2,x3),f‘(ξ2)=0,再用洛尔定理,f‘(ξ1)=f‘(ξ2),∃ξ∈(ξ1,ξ2),f‘’(ξ)=0.   3.还没想出来   4.F(x)的n阶导数为2^n*e^(2x) (由于一阶2*e^(2x),二阶2^2*e^(2x),顺次可推得,要是证明的话,用数学归纳法),所以用泰勒公式就有F(x)=F(0)+F'(0)x+F''(0)/2*x^2+.+Fn阶(0)/n!*x^n+o(x^n)   实际上F(x)展开式为∑(2x)^n/n!,其中n=0,1,.∞(可见图)
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