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已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=Sn-1/2Sn-1+1,a1=2,求证{1/Sn}是等差数列已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=Sn-1/2Sn-1+1(n大于等于2),a1=2,求证{1/Sn}是等差数列及an的表达式
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问题描述:

已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=Sn-1/2Sn-1+1,a1=2,求证{1/Sn}是等差数列

已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=Sn-1/2Sn-1+1(n大于等于2),a1=2,求证{1/Sn}是等差数列及an的表达式

韩西生回答:
  由Sn=Sn-1/2Sn-1+1,两边同时取倒数   可得1/Sn=(2Sn-1+1)/Sn-1   1/Sn=2+1/Sn-1   即1/Sn-1/Sn-1=2   故{1/Sn}是首项为1/2,公差为2的等差数列   1/Sn=1/2+2(n-1)得Sn=2/(4n-3)   由an与Sn的关系可知,n=1时,a1=S1=2   a>1时,an=Sn-Sn-1=2/(4n-3)-2/(4n-7)   整理得an=-8/(4n-3)(4n-7)   要求什么,首先必须抓住条件,从条件入手,像目标靠近.数列题目,应该善于利用an与Sn的关系.以及Sn-1与Sn的关系.
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