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用三重积分求由曲面Z=X2+2Y2及Z=6-2X2-Y2所围成的立体的体积.
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问题描述:

用三重积分求由曲面Z=X2+2Y2及Z=6-2X2-Y2所围成的立体的体积.

亢雪英回答:
  Ω由z=x²+2y²及2x²+y²=6-z围成.   消掉z得投影域D:   x²+2y²=6-2x²-y²   ==>x²+y²≤2   体积=∫∫∫ΩdV   =∫(-√2→√2)dx∫(-√(2-x²)→√(2-x²))dy∫(x²+2y²→6-2x²-y²)dz   =4∫(0→√2)dx∫(0→√(2-x²))[(6-2x²-y²)-(x²+2y²)]dy   =12∫(0→√2)dx∫(0→√(2-x²))(2-x²-y²)dy   =12∫(0→π/2)dθ∫(0→√2)(2-r²)rdr   =12*π/2*∫(0→√2)(2r-r³)dr   =6π*(r²-r⁴/4):0→√2   =6π*(2-4/4)   =6π
万明习回答:
  ∫(x²+2y²→6-2x²-y²)dz这里是怎么来的?不懂。。为什么要相减?
亢雪英回答:
  6-2x²-y²在上面x²+2y²在下面所以(6-2x²-y²)-(x²+2y²)z的范围由x²+2y²变到6-2x²-y²
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