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已知直线l:y=2x-10与圆C:x^2+y^2-4x+2y+m=0相交于A,B两点,求:当以AB为直径的圆过原点时,求实数m的值.
1人问答
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问题描述:

已知直线l:y=2x-10与圆C:x^2+y^2-4x+2y+m=0相交于A,B两点,求:当以AB为直径的圆过原点时,求实数m的值.

靳晓蕾回答:
  ∵A、B都在直线l上,∴可令点A、B的坐标分别是(a,2a-10)、(b,2b-10).   联立:y=2x-10、x^2+y^2-4x+2y+m=0,消去y,得:   x^2+(2x-10)^2-4x+2(2x-10)+m=0,   ∴x^2+4x^2-40x+100-4x+4x-20+m=0, ∴5x^2-40x+80+m=0.   显然,a、b是方程5x^2-40x+80+m=0的两根,∴由韦达定理,有:   a+b=40/5=8、ab=(80+m)/5.   ∵AB是△OAB的外接圆直径,∴OA⊥OB,∴向量OA·向量OB=0.   而向量OA=(a,2a-10)、向量OB=(b,2b-10),∴ab+(2a-10)(2b-10)=0,   ∴ab+4ab-20(a+b)+100=0,∴5[(80+m)/5]-20×8+100=0,   ∴80+m-60=0,∴m=-20.   ∴满足条件的m的值是-20.
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